Mam trzy zadania do przeanalizowania (i też wykonania w miarę możliwości). Aktualnie analizuję sobie podręcznik z liceum, ale gdyby był ktoś w stanie mnie naprowadzić w skuteczniejszy sposób, to byłbym bardzo wdzięczny :)
A oto zadania:
1. W tym samym liście do Fermata Pascal opisuje problem podziału stawki w grze: "Dwóch graczy A i B ma jednakowe szanse zwycięstwa w pojedynczje grze. Rozgrywają serię takich gier, podobnie jak w grze w tenisa. Ostatecznie zwycięzcą zostanie ten, kto pierwszy wygra pięć pojedynczych gier. Rozgrywki zostały przerwane w momencie, gdy gracz A miał na swoim konice trzy wygrane pojedyncze gry, a gracz B dwie. Jak należy podzielić nagrodę, którą otrzymałby zwycięzca wszystkich pięciu pojedynczych gier?" Jak podzieliłbyś nagrodę?
2. Przypuścmy że gra została przerwana w chwili, gdy graczowi A brakowało do zwycięstwa jednej pojedynczej gry, a graczowi B dwóch. Jakie szanse na zwycięstwo ma każdy z graczy w tym momencie? Ilu pojedynczych gier potrzeba do zakończenia całej gry? Jak, twoim zdaniem należy podzielić nagrodę w tej sytuacji?
I tyle, albo aż tyle :)
Pozdrawiam.
Zadanie 1
Szansa wygranej pojedynczej gry gracza A =1/2 , gracza B=1/2
Gracza A wygrał trzy gry, gracz B dwie. Graja do 5 wygranych.
Co sie mogłoby stać gdyby grali dalej:(AW zwyciestwo w pojedynczej grze gracza A ,BW zwyciestwo w pojedynczej grze gracza B,A5 wygranie 5 gier przez gracza A,B5 wygranie 5 gier przez
gracza B)
1.AW,AW =A5
2.AW,BW,AW =A5
3.AW,BW,BW,AW=A5
4.AW,BW,BW,BW=B5
5.BW,BW,BW =B5
6.BW,AW,BW,BW=B5
7.BW,AW,BW,AW =A5
8.BW,AW,AW=A5
9.BW,BW,AW,BW=B5
10.BW,BW,AW,AW=A5
Rozpisujemy drzewko przypadków
Początek
1/2 1/2
AW BW
1/2 1/2 1/2 1/2
AW BW AW BW
A5 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
AW BW AW BW AW BW
A5 1/2 1/2 A5 1/2 1/2 1/2 1/2 B5
AW BW AW BW AW BW
A5 B5 A5 B5 A5 B5
Szanse na wygraną gracza A= (wszystkie końce z A5) 1/2*1/2 + 1/2*1/2*1/2 + 1/2*1/2*1/2*1/2 + 1/2*1/2*1/2 + 1/2*1/2*1/2*1/2 + 1/2*1/2*1/2*1/2=1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/8+ 1/16+1/16=
4/16 + 2/16 + 1/16 + 2/16 + 1/16 +1/16=11/16=0.6875
=0.25 +0.125+0.0625+0.125+0.0625+0.0625=0.6875
Szanse na wygraną gracza B=(wszyskie końce z B5)=1/2*1/2*1/2*1/2 + 1/2*1/2*1/2*1/2 + 1/2*1/2*1/2*1/2 + 1/2*1/2*1/2 =1/16 + 1/16+1/16+ 1/8=1/16 +1/16 +1/16 +2/16=5/16=0.3125
A+B powinno równać się jeden
0.6875+0.3125=1
Czyli na gracza A przypada 0.6875 nagrody
a dla gracza B 0.3125 nagrody
Zadanie 2
Co się może stać: (AC- całkowita wygrana gracza A ,BC - całkowita wygrana gracza B)
1.AW =AC
2.BW,AW=AC
3.BW,BW=BC
Czyli maksymalnie zostaną rozegrane trzy gry.
Drzwko przypadków
Początek
1/2 1/2
AW BW
AC 1/2 1/2
AW BW
AC BC
Szanse na wygraną gracza A= (wszystkie końce z AC)=1/2 + 1/2*1/2= 1/2 + 1/4=2/4+1/4=3/4= 0.75
Sznase na wygraną gracza B= (wszystkie końce z BC)=1/2*1/2=1/4=0.25
Czyli na gracza A przypada 0.75 nagrody
a dla gracza B 0.25 nagrody
