Mam problem z pewnym zadankiem :
Czy poniższa równość jest tożsamością trygonometryczną?
a) tg(afla) + ctg(alfa)=2/sin2(alfa)
b) (sin(alfa) + cos(alfa) )^2 = sin2(alfa)
c) cos^4(alfa) - sin^4(alfa) = cos 2(alfa)
Wiem mniej więcej jak rozwiązywać tożsamości ale mam pytanie jak najłatwiej ? ktoś dał mi sposób aby podstawiać za alfę np. 30stopni i wtedy przekształcić to na ułamki i liczyć. Czy to wgl jest poprawne. I najważniejsze pytanie jak robić założenia co do dziedziny i czy np. mogę na początku zobaczyć czy to jest tożsamość i jeżeli nie jest nie robię wgl założenia ?
Chodzi o to, zeby znanymi wzorami redykcyjnymi przeksztalcac te ponizsze, zeby wyszly ci jakies tozsamosci, ktore masz w podreczniku. Przerabialem to setki razy
Nie, nie możesz "podstawić za alfę np. 30 stopni i liczyć". Praktycznie nigdy nie można udowadniać jakiejś tożsamości (lub ogólnego twierdzenia, w którym mamy niewiadomą) poprzez podstawienie konkretnej wartości i sprawdzenie, że się zgadza. Bo to niczego nie dowodzi! To tak jakby ktoś stwierdził: "wszystkie koty są czarne", po czym pokazał jednego czarnego kota. I co? Jego stwierdzenie byłoby prawdziwe? Korzystaj z przekształceń i znanych tożsamości trygonometrycznych. Pytasz jak to zrobić najprościej? Poprzez praktykę - rozwiązując pierwszy taki przykład będziesz się długo głowił. Rozwiązując setny - będziesz już działał wręcz mechanicznie, a potrzebne przekształcenia same się będą narzucać.
Drugiego pytania nie za bardzo rozumiem. Tak, musisz zrobić założenia co do dziedziny - niby jak bez tego chcesz zobaczyć czy to jest tożsamość? Jest raczej odwrotnie, niż napisałeś na końcu: jeżeli dziedziny obu stron się nie zgadzają, to nie masz czego dalej sprawdzać (bo na pewno NIE będzie to tożsamość).
@DEXiu dzięki za odpowiedź coś już wiem. Ogólnie chodzi mi o to ,że nie wiem jak wyznaczać dziedzinę :( i niestety nie mogę wgl na to wpaść. Czy możesz wyjaśnić mi jak wyznaczyć dziedzinę do tych 3 przykładów ,bo sprawdziłem już czy L=P. I jeszcze jedno co zrobić po wyznaczeniu dziedziny jak to porównywać ?
Wyznaczamy dziedzinę:
Ad. a)
Lewa strona:
Dziedziną tg(alfa) są wszystkie alfa z wyjątkiem k*pi + pi/2, gdzie k jest całkowite (mam nadzieję, że to jasne)
Dziedziną ctg(alfa) są wszystkie alfa z wyjątkiem k*pi, gdzie k jest całkowite.
Bierzemy pod uwagę przecięcie (znaczy część wspólną) tych dwóch zbiorów i wychodzi nam, że dziedziną lewej strony są wszystkie wartości alfa z wyjątkiem k*pi/2, gdzie k jest całkowite (jeżeli tego nie widzisz, to możesz sobie rozrysować na osi - będzie łatwiej)
Prawa strona:
Dziedziną prawej strony będą wszystkie wartości alfa z wyjątkiem takich, dla których sin2(alfa) (czyli mianownik ułamka) jest 0. sin2alfa jest zerem kiedy 2alfa jest równe k*pi (dla k całkowitego), czyli gdy alfa jest równe k*pi/2. Zatem dziedziną są wszystkie alfa z wyjątkiem k*pi/2 dla k całkowitego.
Widać zatem, że dziedzina dla obu stron jest taka sama (równość zbiorów).
Ad. b)
Nie ma ograniczeń na wartość alfa. Czyli dziedziną zarówno lewej jak i prawej strony będzie alfa należące do R (dowolne alfa rzeczywiste)
Ad. c)
To samo co w b.
Co do ostatniego pytania - po prostu porównujesz zbiory (bo dziedzina to nic innego jak zbiór) - powinny wyjść identyczne.
@DEXiu
jeżeli dziedziny obu stron się nie zgadzają, to nie masz czego dalej sprawdzać (bo na pewno NIE będzie to tożsamość).
Na ogół to Ty odpowiadasz w wątkach matematycznych (choć pewnie i ja powinienem się udzielać) i robisz to bardzo dobrze, tak tu nie widzę podstaw do tak ogólnego stwierdzenia. Równanie może być tożsamością przy, mówiąc w uproszczeniu, niezgodnych dziedzinach. Jest wtedy tożsamością na części wspólnej dziedzin.
jiser - Idąc tym tokiem rozumowania moglibyśmy mieć tożsamość dwóch wyrażeń na "wspólnej części dziedziny", która to wspólna część będzie zdegenerowana do punku (np. sqrt(x) = sqrt(-x) ), albo wręcz zbioru pustego.
jiser - to są internety, powinieneś walczyć o prawdziwość swojego zdania!
