Forum: Funkcje trygonometryczne - wykresy

Funkcje trygonometryczne - wykresy

Cześć
Mam pewne zadanko − narysuj wykresy funkcji oraz opisz je. Niestety nie wiem wgl jak się za nie zabrać. Czy pierwsze przesuwać ? czy może zabrać się za wartość bezwzględną. Prosił bym o pomoc.

link do zdjęcia z funkcjami : http://i43.tinypic.com/33jqnox.png

1. gdy sinx wiekszy od 0 i mniejszy badz rowny 1 to funkcja przyjmuje postac - 1/2 bo sinusy sie skracaja
gdy sinx mniejszy badz rowny 0 i wiekszy badz rowny -1 to funkcja przyjmuje wartosc 1/2

2. tu na tej samej zasadzie jak wyzej i w pierwszym przypadku funkcja przyjmie wartosc cosx, a w drugim przypadku 0

3. tutaj tez rozbijasz na dwa przypadki w zaleznosci od x

moglem cos pomylic aczkolwiek zarys chyba jest ok

Wyszło mi ,że :
- 1/2 dla x>0
1/2 dla x<0

To chyba nie możliwe prawda ? jak mogę zaznaczyć -1/2 ponad osią x ?

Gersiak --

Masz funkcję P(x). Co to znaczy? Że funkcja P przyporządkowuje dla zmiennej niezależnej x, wartości zmiennej zależnej (na zwykłym wykresie jest to y).

P(x) = -1/2 * [|sinx|/sinx]
Jeśli wartości P(x) jak to jest w zwykłym układzie, utożsamiamy z y, zatem: y=-1/2 * [|sinx|/sinx]

sinx/sinx w sposób oczywisty zawsze wynosi jeden (bo dzielisz daną wartość przez nią samą). Jeśli pominęlibyśmy wartość bezwzględną w liczniku ułamka, wówczas dla wszystkich x-ów, wartość y wynosiłaby więc -1/2 *1 czyli -1/2. Wówczas wykres funkcji P(x) to byłaby prosta równoległa do osi x o stałej wartości y wynoszącej -1/2 (edit: za wyjątkiem miejsc gdzie sinx wynosi 0).

Ale my mamy tam tę wartość bezwzględną. Czym charakteryzuje się wartość bezwzględna? Tym, że jeśli objęte nią wyrażenie jest ujemne, to zmieniasz je na dodatnie. Jeśli jest dodatnie, pozostaje takie samo. Więc jeśli uwzględnimy wartość bezwzględną, licznik naszego ułamka jest zawsze dodatni. Natomiast mianownik jest ujemny lub dodatni w zależności od tego, czy ujemna lub dodatnia jest wartość sinx dla danego x.

Od tego samego zależy więc wartość całego ułamka (czy jest dodatni, czy ujemny). W zależności więc od tego jaką wartość przyjmuje sinx dla danego x, y wynosi albo -1/2 * 1 (kiedy sinx jest dodatni, a więc mianownik ułamka jest dodatni [licznik zawsze jest bo jest w wartości bezwzględne], a więc cały ułamek jest dodatni i wynosi 1), albo -1/2 * (-1) (kiedy sinx jest ujemny, a więc mianownik jest ujemny [licznik zawsze jest dodatni, bo jest w wartości bezwzględnej], a więc cały ułamek jest ujemny i wynosi -1).

W czym problem w narysowaniu takiego wykresu. Jak sinx dla danego x jest dodatni, to y dla danego x wynosi -1/2*1 czyli -1/2, jak sinx dla danego x jest ujemny, to y dla danego x wynosi -1/2 *-1 czyli 1/2 (jak zresztą napisałeś, tylko zależność powinna być od sinx, a nie x; powinno być: 1/2 dla sinx<0; -1/2 dla sinx>0).

Zaznacz sobie punkty w których sinx zmienia wartość z dodatniej na ujemną (miejsca zerowe funkcji sinx) i między jednym takim miejscem, a drugim y wynosi 1/2, albo - 1/2 (w powyżej opisanej zależności). A więc są to pewne proste odcinki równoległe do osi x.

BTW. Dla punktów w których sinx wynosi zero, funkcja jest nieokreślona, bo masz dzielenie przez zero; nie pamiętam jak się coś takiego rysowało; chyba jakimś pustymi w środku kółeczkami na końcu każdego odcinka.

****************

Popatrz zresztą na rysunek (jest krzywy, wiem, ale wystarczy). Niebieskie linie wyznaczają wartości y=1/2 i y=-1/2. Linie zielone z założenia mają być prostopadłe do osi x i przechodzić przez miejsca zerowe funkcji sinx. Brązowe odcinki, które powinny się mieścić między zielonym prostymi (czasem mi to nie wyszło w rysowaniu), to wykres funkcji P(X). Przy tym przy x dla którego sinx wynosi 0, a więc przy x wyznaczanym przez zielone linie, wartość P(X) jest nieokreślona, bo mamy w funkcji P(x) ułamek |sinx|/sinx, więc dla sinx=0 wynosi on 0/0 co jest wyrażeniem nieokreślonym. To też jakoś się zaznaczało na wykresach.

Tak na marginesie. Z tego co piszesz wychodzi na to, że sobie za dużo olewałeś matematyki, albo pewnych rzeczy Cię nie nauczono.

Nie uzyskasz na obecnym poziomie wiedzy bezpośredniej zależności od x, ponieważ w P(x)= -1/2*(|sinx|/sinx) masz sinusa. Wartość P(X) dla danego x, zależy od wartości sinx dla tego x.

W tym wypadku akurat (bo właściwie wszystko inne skraca się do jedności w ułamku w którym są sinusy), od tego czy sinus z danego x jest dodatni, czy ujemny, zależy to czy ujemna czy dodatnia będzie wartość P(x).

Tak naprawdę sinus to też jest funkcja, a P(x) jest funkcją złożoną (funkcją z funkcji). Żeby uzyskać dla danego x wartość P(x) musisz najpierw uzyskać wartość sinx dla tego x. Gdyby sinusy się Ci nie skracały, musiałbyś uzyskać dokładną wartość sinx, żeby uzyskać wartość liczbową P(x).

Na tym etapie edukacji nikt Ci jednak nie poda i nie będzie wymagał skomplikowanych wzorów na funkcję sinus w zależności od x (x w przypadku funkcji sinus reprezentuje miarę kąta; bo sinus to funkcja zależna od wielkości kąta; te wszystkie pi, pi/2, pi/4 itp. jakie widzisz na wykresie na osi x, to są kąty mierzone w radianach [coś jak stopnie, ale trochę inne]).

Skoro sinx to tak naprawdę funkcja (można ją zapisać inaczej, jako sin(x)), to nie możesz sobie np. wyrażenia sin(x)/sin(x) skrócić tak, że zostanie x/x. Sin to nie jest liczba. To jest funkcja. Sam znak "sin" jest bezsensowny. Sinus może być tylko od jakiejś wartości. Jak ktoś skrótowo pisze sinx to ma na myśli sin(x). Czyli wartość funkcji sinus w zależności od x. Więc nie możesz z sinx/sinx dojść do jakiegoś x/x, czy sin/sin. Natomiast sinx/sinx wynosi 1, ponieważ od tego samego x wartości funkcji sinus są takie same (nie ważne jakie, ważne że takie same, a więc się skrócą w dzieleniu do 1). Gdybyś miał sinx/sinz (albo zapisując precyzyjniej sin(x)/sin(z)) to nie mógłbyś tego już sobie tak skrócić. Bo wartość sin(x) mogłaby być różna niż wartość sin(z) w zależności od tego ile wynosiłby x, a ile z. Gdybyś określił, że np. z = x+2pi, to wtedy sin(x)/sin(z) skróciłoby się do 1, bo funkcja sin (co widać na wykresie) przyjmuje te same wartości dla zmiennej niezależnej różniącej się o 2pi (inaczej rzecz ujmując sin(x+2pi) = sin(x)).

Wracając do wątku. Nie jesteś w stanie podać wartości sinx dla dowolnego x. Uczyłeś się o wartościach sinusa tylko dla pewnych wybranych x (dla wybranych wartości kątów) . Dlatego właśnie P(x) jest tak pomyślane, żeby nie zależało od dokładnych wartości dla sinx, ale jedynie od tego, dla jakich x sinx jest ujemny, a dla jakich dodatni. Tego Cię uczono i to masz wykorzystać. W tym celu możesz się posłużyć właśnie wykresem sinx.

Jak już wyliczysz, że to czy wartość P(x) jest ujemna, czy dodatnia zależy od tego, czy sinx jest dodatni, czy ujemny, to wykorzystujesz swoją wiedzę o wykresie sinx, żeby zbudować wykres P(x).

Zgodnie z tym co wyliczyliśmy, P(x) jest dodatnia (i wynosi 1/2) na tych odcinkach na których sinx jest ujemny, i jest ujemna (i wynosi -1/2), na tych odcinkach, na których sinus jest dodatni. Widać na wykresie sinx kiedy to ma miejsce, dla jakich x to ma miejsce. Ale trzeba też uwzględnić, że sinx czasami wynosi zero, a wtedy P(x) = -1/2 * 0/0. Ponieważ wartość 0/0 jest nieokreślona, więc funkcja P(x) też dla tych x dla których sinx wynosi 0, jest nieokreślona (nie ma określonej wartości, y jest więc nieokreślone).

A jeśli interesuje Cię, czym jest radian, to spójrz na załączony obrazek.

Kąt o mierze 1 radiana, to kąt, którego łuk wyznaczony na okręgu jest długości promienia tego okręgu (r). Ponieważ wiemy, że obwód okręgu także jest zależny od promienia i wynosi 2*pi*r, więc możemy łatwo ustalić ile radianów mierzy kąt pełny (czyli wynoszący 360 stopni; zataczający pełne koło).

W tym celu dzielimy obwód okręgu przez długość naszego łuku, a więc (2*pi*r)/r, i otrzymujemy wartość 2pi. Tak więc 360 stopniu, to 2pi radianów. 180 stopni, to pi radianów.

Stąd łatwo wyprowadzić wzory, które umożliwią nam przeliczanie stopni w radiany i na odwrót.

ilość radianów = x stopni * (pi/180)

Co łatwo zrozumieć ponieważ jest to ilość stopni przemnożona przez to ile radianów odpowiada jednemu stopniowi (pi odpowiada 180; więc pi/180 jednemu).

ilość stopni = x radianów * (180/pi)

Jak wyżej, tylko odwracamy stosunek. Skoro pi radianów, to 180 stopni, to 180/pi daje nam ile stopni przypada na radian.

Albo łopatologicznie, bo po co mieszać:

pi * 1 [radian] = 180 * 1 [stopień] (i sobie dzielisz odpowiednio, żeby wyrazić jedno przez drugie)

**************

I właśnie stąd masz te wszystkie pi na wykresach funkcji trygonometrycznych na osi x. Sin, cos, tg, ctg itd. to są funkcje kąta.

Przecież musieli Cię uczyć, że np. sin(x) to jest stosunek przyprostokątnej przeciwległej do kąta x, do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym. I tak dalej. Radiany to po prostu wygodniejsza miara wartości tego kąta x.

Jak ja sie ciesze, ze mam juz to za sobą :>

Az przyjemnie popatrzec jak komus funkcja meczy bułe a ja moge miec to w dupie i zapomniec o funkcjach, sinusach, kosinusach, kombinatoryce i innych gownach

sir Qverty --

Cieszysz się, bo teraz zajmujesz się ciekawszą matematyką, czy cieszysz się, że nie masz z nią nic wspólnego? To drugie to dość głupia postawa, co trochę zbyt późno sobie uświadomiłem.

emil kuroń --

To wszystko jest względne. Wcale nie wykluczone, że na obecnym etapie edukacji dla autora wątku większego wysiłku intelektualnego wymaga przyswojenie podstaw funkcji, niż Ty musisz dokonywać na analizie.

Belert --

Problem jest taki, że wystarczy sobie narobić zaległości i wówczas już wcale nie jest tak różowo i prosto. Ponadto w polskich szkołach dobrze jest jak nauczyciel chociaż próbuje coś tłumaczyć, takich którzy potrafią wyjść na przeciw trudnościom uczniów można policzyć na palcach jednej ręki.

Mnie np. - co czasami strasznie szkodzi, bo czasami lepiej jest się czegoś najpierw nauczyć bez dokładnego zrozumienia skąd to się wzięło, a dopiero dużo później, na innym etapie, wrócić do tych zagadnień - mnie do tej pory strasznie irytuje, jak tego nie wiem (nie widzę, nie czuję).

Dlatego doskonale rozumiem tych, którym się wydaje, że zagadnienia jakie przerabia się w szkole, to jakieś bzdury oderwane od rzeczywistości. Też tak myślałem i później (po studiach) cała edukację matematyczną musiałem zacząć od podstaw, od problemów z podstawówki, żeby sobie to uporządkować. Jestem cofnięty pod tym względem w rozwoju.

Uczniom pomocny mógłby być jakiś podręcznik, który nie robi z człowieka idioty i na poważnie pewne rzeczy tłumaczy, chociażby przybliżając motywacje stojące za pewnymi konceptami, albo przynajmniej dokonujący ich wyprowadzeń i sugerujący zastosowania. Ale gdzie tam. Lepiej uczyć ludzi na komiksach z cyferkami.

Dlatego ja sobie szukam podręczników angielskich (które zresztą też nie są używane w szkołach w USA, czy UK; ale są napisane z myślą o ludziach, którzy chcą rozumieć, potrzebują jakichś uzasadnień). Często względnie starych (bo kiedyś inaczej do tego podchodzono).

I tak np. z trygonometrii można sobie tutaj ściągnąć darmowy podręcznik (prawa autorskie wygasły):

http://archive.org/details/planetrigonomet01lonegoog (po lewej stronie, w tabelce All Files: HTTPS; klikamy i mamy w różnych formatach).

Ponieważ jednak lepiej najpierw trochę poznać geometrii analitycznej, więc np. można ściągnąć to (albo wyszukać inne, przejrzeć, ocenić wartość):

http://archive.org/details/analyticgeometr00colpgoog

Podręcznik z elementarnej geometrii, jest dostępny po polsku:

http://www.wiw.pl/matematyka/geometria/

Ogólnie elementarną matematykę można sobie odświeżyć dzięki:

http://libgen.info/view.php?id=910953 (format djvu)

Pomijając pierwsze rozdziały, które irytują dziwacznym omówieniem przemienności itp. różnych działań, z Algebry ciekawym podręcznikiem jest:

http://archive.org/details/algebraelementar01chryuoft (jest też druga część).

Także podręczniki Gelfand'a, ten:

http://www.amazon.com/Algebra-Israel-M-Gelfand/dp/0817636773

i inne z elementarnej matematyki, są bardzo godne uwagi (i większość daje się znaleźć w necie w formie ebooków). Już o tym w innym wątku pisałem, teraz dodaję parę pozycji tutaj. Ja nie widzę innego sposobu (poza jakimiś korkami), żeby się matmy uczyć, jak mieć sensowny podręcznik i naprawdę z niego korzystać (w tym robić ćwiczenia).

**************

Jak ktoś się zastanawia po cholerę mu matematyka, to można zobrazować jak w codziennych sytuacjach jest idiotą bez jej znajomości:

- Nie jest w stanie ocenić wartości, ani dogłębnie zrozumieć, wyników żadnego statystycznego badania (zastanówcie się ile słyszycie o takich wynikach - bierzecie je na wiarę)
- Mając siatkę o danej długości, nie wie jak ją postawić, żeby objęła największe pole (może podejrzewać, ale nie może być pewien)
- Nie jest w stanie samodzielnie obliczyć nawet tego ile jest kombinacji w dużym lotku
- Nie jest w stanie wziąć świadomej dyskusji w sprawie przyrostu naturalnego
- Nie jest w stanie naprawdę pojąć, jak funkcjonują różne modele wyborcze i zabrać głosu w dyskusji nad zmianą obowiązującego
- Nie bardzo rozumie, czym jest średnia płaca krajowa i dlatego dziwi go, że jest tak wysoka
- Liczy drugi raz ten sam dział spadku, działanie po działaniu, wyłącznie dlatego, że się machną w pierwszej kwocie (pierwotnym majątku), bo nie rozumie proporacji
- Nie pojmuje jak zakłady sportowe zarabiają pieniądze i jak ustalane są kursy

i tak dalej. Tych i miliarda innych sytuacji, tak naprawdę nigdy nie będziecie w stanie zrozumieć, bez rozumienia ich matematycznych podstaw. Może Wam się coś kołatać, może Wam się coś wydawać, ale to nie jest rozumienie. Coś wyda się oczywiste? Wcale takie nie musi być. Czy fakt, że zawodnik może mieć wyższy odsetek strzałów na bramkę, niż drugi, w kolejnych połowach, a w całym meczu niższy wydaje się oczywisty?

Do młodzieży może przemawiać to, że jak kiedyś będą może chcieli pisać gierki komputerowe, to matematyka jest do tego niezbędna.

[16]

Ja nie potrzebuję matmy w żadnym zawodowym sensie. Uczę się matmy, bo odkryłem, że bez niej nawet w codziennych sytuacjach bywam głupi, a po czasie zainteresowała mnie. To co jest w liceum to pikuś (w sensie tego co umożliwia, szczególnie tak jak jest uczona, czyli źle) - prawdziwa matma i możliwości jakie daje, zaczyna się potem.

Skoro poświęcałeś najwięcej czasu temu przedmiotowi, a dostawałeś trójki, to wyjaśnienie jest jedno: masz jakieś braki, albo błędne koncepcje w podstawach oraz w podejściu! Też tak miałem. Gdybyś spróbował cofnąć się do podstaw (szczególnie często - z dyskusji w necie i patrząc po sobie - ma się jakieś błędne koncepcje w przypadku ułamków i w ogóle stosunków) i zaczął od samiutkiego początku, to byś zobaczył, że tak idąc stopień po stopniu, eksplorując też własne pytania, to jest zupełnie inne doświadczenie.

Ludzie mają szokujące braki, mimo że kończyli szkoły. Np. nie potrafią sobie jasno uświadomić, że

a*b + 5 = 2x + 1

oznacza, że oba te wyrażenia są równe. Niby to wiedzą, ale tak naprawdę nie wiedzą, nie wmówili w siebie tego przekonania. Nie dziwne jak się ludzi uczy głupot, że 5 można przenieść na drugą stronę, o ile zmieni się znak. To jest bzdura! Kompletny idiotyzm. Można dodać do obu stron -5 (bo dodanie tej samej liczby do jednej i drugiej z takich samych, równych liczb niczego przecież pod względem ich równości nie zmienia), i z lewej 5 nam się skróci do zera, a po prawej będziemy mieli -5. No, ale nie tak się ludzi uczy! Najlepiej zakryć sens debilną regułką, która działa, ale sens zakrywa!

Albo ktoś się zastanawia jak wyrażenie może działać, skoro w gruncie rzeczy nie wiadomo, czy jakieś "a" jest dodatnie, czy ujemne. Bo nikomu na algebrze nie chciało się zauważyć, że zasady manipulacji liczb są np. w danej mierze (przy użyciu danych działań) te same i nie ma znacznie jaki znak ma "a". Jeśli mamy a/a, to czy "a" jest ujemne, czy dodatnie, to wyrażenie to zawsze wyniesie jeden, bo rozumujemy na innym poziomie abstrakcji, dana liczba przez daną liczbę daje jeden. I tak samo jak mamy zestaw mnożeń dzieleń i dodawania, to nie ważne czy nasze literki to ułamki, czy liczby całkowite, czy naturalne, czy jakaś ich mieszanka, bo wówczas rozumujemy, w algebrze, wyłącznie na samych działaniach, a potem, pod dokonaniu przekształceń do jakieś pouczającej formy, możemy sobie zacząć rozumować np. o tym czy wyrażenie będzie dodatnie czy ujemne w zależności od tego jaki znak przyznamy danym liczbom.

Ale myślisz, że ktoś w szkole postara się budować takie wnioski w uczniach? Wolne żarty!

Takich idiotyzmów jest mnóstwo. Wiesz ile osób nie rozumie zasad dodawania, mnożenia czy dzielenia ułamków? Bo nauczono ich tylko reguł, w ogóle nie wyjaśniając sensu. Więc jak matma ma być dla nich. Przecież dokonano na nich intelektualnej zbrodni. Otumaniono ich matematycznie. Po prawdzie, to takie rzeczy dość trudno jest wyjaśnić (dość trudno znaleźć kolejność pokazania pewnych faktów, żeby to ludziom zaskoczyło intuicyjnie), ale chyba właśnie od tego powinien być nauczyciel! Specjalistą od tłumaczenia wiedzy.

Do błędów w podejściu należy np. to, że chce się pewne rzeczy "widzieć". Pewnych rzeczy w ogóle bezpośrednio nie da się widzieć. Musisz rozumować na pewnym poziomie abstrakcji. Jak np. nie bardzo czujesz, że jedno przekształcenie jest tożsame z innym, ale sprawdziłeś wszystkie możliwości manipulowania znakami i rzeczywiście uzyskujesz to samo, to przyjmujesz to do wiadomości. Właśnie często to jest takie odnoszenie znaku do znaku. I coś co na początku wydaje Ci się niewygodne, bo tylko tak logicznie wynikające (bez czucia), jak przyjmiesz w swój repertuar i będziesz używał, to stanie się naturalne.

Po prostu oswajasz się z abstrakcjami i w ten sposób pojawia się intuicja, czasem bardziej obrazowa, czasem bardziej logiczna, czasem łączona. Ale ogólnie chodzi o to, że np. gość obok, który przekształca równania jak piorun, nie robi tak dla tego, że jest jakimś geniuszem (chyba że akurat jest geniuszem ;)) i widzi wszystko do ostatniego ułamka :P, tylko dlatego, że obył się tematem, dostrzega już pewne konstrukcje. Trzeba się nauczyć i przyzwyczaić do tego, że matma to w dużej mierze wyciąganie logicznych wniosków z formalnych zależności, nierzadko te wnioski mogą nas osobiście dziwić i zaprzeczyć naszej intuicji, to normalne.

Błędów w podejściu są setki: chce się na raz za dużo, chce się od razu, jak nie wychodzi uważa się siebie za nienadającego się itd.