Znajdź sześciowyrazowy ciąg geometryczny, wiedząc, że suma trzech pierwszych jego wyrazów wynosi 49, a suma trzech ostatnich wynosi 392.
jest jakiś inny sposób niż ze wzorem na sumę częściową?
Ciąg geometryczny możemy określić podając pierwszy wyraz a_1 oraz stałą q.
Załóżmy, że a_1 != 0.
Z faktu, że a_n = a_‹n-1› * q sumę pierwszych trzech wyrazów
a_1 + a_2 + a_3 = 49, możemy zapisać następująco:
a_1 + a_1*q + a_1*q*q = 49, czyli a_1(1+q + q^2) = 49.
Wówczas sumę trzech ostatnich wyrazów można zapisać jako:
a_4 + a_5 + a_6 = 392,
a_4(1+q+q^2) = 392,
Zatem:
1+q + q^2 = 392/a_4 oraz 1+q + q^2 = 49/a_1.
392/a_4 = 49/a_1 => a_4 = 8 * a_1.
Pamiętamy, że a_4 = a_3 *q = a_2 * q^2 = a_1 * q^3. Zatem
a_1 * q^3 = 8 * a_1 => q = 2.
Musimy jeszcze znaleźć a_1. Z sumy trzech pierwszych wyrazów:
a_1(1+q+q^2) = 49,
a_1(1+2+4) = 49,
a_1 = 49/7,
a_1 = 7.
6 Wyrazowy ciąg geometryczny a_1=7 i stałej q=2 ma postać: 7,14,28,56,112,224.
