Witam .
A więc startuje w olimpiadzie matematycznej i przydała by się jakaś mała pomoc w poniższych zadaniach ;)
1. Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n, liczby
n , n^5 ,n^9, n^13, n^17 , ...
mają jednakowe cyfry jedności.
2. Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym AD+BC = CD. Dwusieczne
kątów BCD i CDA przecinają się w punkcie S. Udowodnij, że AS = BS.
3. Liczba naturalna n jest co najmniej trzycyfrowa. Jeżeli pomiędzy cyfrę setek a cyfrę dziesiątek tej liczby
wpiszemy znak mnożenia, to po wykonaniu mnożenia otrzymamy połowę liczby n. Wyznacz wszystkie liczby n
o tej własności.
4. W balu wzięło udział 102 królewiczów i 103 królewny. Po balu okazało się, że każdy królewicz zatańczył
z taką samą liczbą królewien. Udowodnij, że pewne dwie królewny zatańczyły z taką samą liczbą królewiczów.
Zadanie 5.
5. Odcinki AD i BE są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC. Po
zewnętrznej stronie trójkąta ABC zbudowano kwadrat ABKL oraz
prostokąty BDMN i AEP Q, przy czym BN = BC oraz AQ = AC.
Udowodnij, że suma pól prostokątów BDMN i AEP Q jest równa
polu kwadratu ABKL.
6. W ostrosłup SABCD, którego podstawą jest czworokąt wypukły
ABCD, można wpisać sferę. Udowodnij, że
<)ASB +<)CSD = <)BSC +<)DSA.
7. Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite n, dla których liczba
n
3 −7n jest kwadratem liczby całkowitej.
Będę ogromnie wdzięczny za pomoc !
